GGP 9. Euler transforms and quaternions

Euler Transforms

오브젝트의 방향을 결정하는 방법을 Euler Transform이라고 하고, 회전각 ( Θ1, Θ2, Θ3) 을 Euler angles라고 한다. 세 개의 회전 축(X, Y, Z)을 따라 순차적으로 회전하는 각도로, 보통 Roll, Pitch, Yaw라고 불린다. 

회전하는 순서에 따라 최종 방향이 달라진다.

 

 

Euler Angles의 문제점

euler angles은 직관적이고 사용하기 쉽지만, 치명적인 문제점이 있다.

1.두 개의 keyframe사이의 euler rotations을 잘 interpolation하지 못한다.

이때 keyframe이란, 1초에 몇십개의 frame들을 다 그리지 못하므로, 주요 frame몇개만 정의되는데, 이것을 keyframe이라고 한다. keyframe 몇개 만 그리고, 프레임 사이의 in-between frame을 interpolation하여 채우는 것이다. 아래 그림을 보면  center position인 p와 방향각도인 Θ가 interpolation된 것을 확인할 수 있다.

더 부드러운 애니메이션은 higher-order interpolation을 사용해 얻을 수 있다.

 

2. 축이 오염되어 회전이 깔끔하게 되지 않는다.

euler angle은 물체를 축을 따라서만 회전시킨다. 예를들어 (60,30,45)의 회전각을 갖고 y축으로 회전한다고 해보자. 이전의 회전이 회전축을 왜곡시키기에, y축 회전은 하나의 축만 회전시켜 이룰 수 없다. 즉, 두개나 세개의 축이 함께 돌아가야지만 y축 회전을 할 수 있고, 결론적으로는 똑바로 회전되는 것이 아니라 세 개의 축이 함께 돌아가기에 돌아가면서 회전되는 진동이 발생한다.

 

* Gimbal lock

euler rotation의 대표적인 문제이다. 짐벌 락 현상은, 세 개의 축이 서로 종속되어있기에 발생하는 문제이다. 두 번째 고리가 돌면, 첫 번째 고리는 가만히 있지만 세 번째 고리는 같이 회전하기에, 첫 번째 고리와 세 번째 고리가 겹칠 수 있다. 이렇게 겹쳐진 두 고리는 분리되지 않아, 하나의 축에 대한 자유도를 잃어버린다. 그래서 예전에는 일부로 90도를 피하기도..

 

 

Quaternion

이런 Euler angle의 한계를 해결하기 위한 방법은 quaternion은, 세 축을 동시에 회전시켜 짐벌락에 걸리지 않도록 하는 3차원 회전을 표현하는 방법이다. 쿼터니언은 더 복잡하고 이해하기 어려워보이지만, 사용하면 더 효율적이고, 컴팩트하고, 안정적이고, 직관적이고, 연속적인 회전이 가능하며 순서와 상관없이 표현할 수 있다. 쿼터니언은 복소수의 확장으로, 하나의 실수 부분과 세 개의 허수 부분으로 구성된 4차원 복소수이다.  unit axis인 e = (x,y,z)축을 기준으로  Θ 라디안 만큼 회전을 하는 쿼터니언은 다음과 같이 표현한다.  

쿼터니언은 sin/cos으로 표현되기에, 2 π 만큼의 주기를 가진다. 따라서 radians각도는 [0, 2 π]범위로 제한된다.

 

 

q는 이렇게 표현되는데, 여기서 (i,j,k)는 세 축을 가리키는 unit-vectors을 가리키고, (qx,qy,qz,qw)는 실수이다. 따라서 q = (qv,qw)로 벡터 부분과 스칼라 부분(qw)으로 표현할 수 있다. 1, i , j, k간의 곱은 다음과 같다.

• 해밀턴 곱은 두 쿼터니언을 곱하는 방법으로, 분배법칙과 위 표의 허수의 곱셈규칙을 이용하여 새로운 쿼터니언을 만드는 방법이다.
• Conjugate of the q: q* = (-qv, qw). 켤레복소수 느낌. (q*)* = q, (pq)* = q*p*. scalar 부분: 1/2 * (p + p*), vector 부분: 1/2 * (q + q*)
• unit quaternion: p의 크기는 아래 식으로 구할 수 있다. 쿼터니언 중 크기가 1인 쿼터니언 이다.

 

2D rotation through complex numbers

예전 포스팅에서 2D rotation을 다루었는데, 이것을 쿼터니언으로 나타내면, p를 x+yi, q= cos Θ + sin Θi 로 정의할 수 있다. 놀랍게도, pq를 계산하면 앞서 다루었던 식과 같게 나온다.

2024.04.13 - [게임그래픽프로그래밍] - GGP 2. Spaces and Transforms

GGP 2. Spaces and Transforms

 

 

3D rotation through complex numbers

3D 회전에서도 쿼터니언이 쓰일 수 있다.

 

위 사진과 같이 고정된 o에서 u벡터를 기준으로 p에서 p'으로  Θ만큼 회전하는 경우를 생각해보자. p = (x,y,z)이고 p의 스칼라값  pw = 0이라 하자. 그러면 p = (p,0)으로 나타낼 수 있다. unit quaternion인 q는 unit vector인 u를 기준으로 Θ만큼 회전하는 경우이므로, 앞의 공식에 대입하면 q = (qv,qw) = (sin Θ/2 u, cos Θ/2)이다. 우리가 최종적으로 계산해야 하는 결과는 qpq*이다.

직접 계산을 해보면 pqp* 식은 다음과 같다. 

 

이것을 기하학적으로 증명을 해보면, 아래 사진과 같다. p' = 초록벡터 + (파란벡터 + 빨간벡터 = 갈색벡터) 로 나타낼 수 있다. 초록벡터는, pv에서 u에 projection을 한 벡터고, 빨간 벡터는 pv - 초록벡터이고, 파란벡터는 빨간벡터와 초록벡터의 외적이다.

 

 

multiple quaternions

• 만약 p'을 또다른 쿼터니언인 r로 회전시킨다고 하면, rp'r* = r(qpq*)r* = (rq)p(q*r*) = (rq)p(rq)*로 나타낼 수 있다. 
• rotation about u by Θ = rotation about -u by - Θ